Akar-akar Suku Banyak (Polinomial)

Materi ini adalah kelanjutan dari Teorema Sisa dan Teorema Faktor. Menentukan akar-akar suku banyak, terutama yang berderajat tinggi, adalah salah satu tujuan utama dalam mempelajari aljabar polinomial.

1. Hubungan Akar dan Teorema Faktor

Jika suku banyak $P(x)$ dibagi oleh $(x - k)$ dan sisanya adalah nol ($P(k) = 0$), maka $k$ disebut **akar** atau **nilai nol** dari suku banyak $P(x)$. Ini berarti $(x - k)$ adalah **faktor** dari $P(x)$.

Jika $P(k) = 0$, maka $k$ adalah akar dari $P(x)$, dan $P(x) = (x - k) \cdot H(x)$

Di mana $H(x)$ adalah hasil bagi. Suku banyak $P(x)$ berderajat $n$ akan memiliki maksimal **$n$ akar** (nyata maupun kompleks).

2. Menentukan Akar Rasional (Teorema Akar Rasional)

Teorema ini digunakan untuk mencari kemungkinan akar-akar berupa bilangan rasional dari suatu suku banyak. Misalkan diberikan suku banyak:

$$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$$

Jika $\frac{p}{q}$ adalah akar rasional dari $P(x)$, di mana $p$ dan $q$ adalah bilangan bulat dan $q \ne 0$, maka berlaku:

Dengan menguji nilai-nilai $\frac{p}{q}$ menggunakan metode Horner, kita dapat menemukan akar-akar rasional yang sebenarnya.

**Langkah Praktis:** Ujilah nilai $\pm 1$ terlebih dahulu, karena paling sering menjadi akar. Lanjutkan dengan faktor-faktor lain dari $a_0$.

3. Sifat-sifat Akar (Rumus Vieta)

Rumus Vieta (Viète) menghubungkan antara **koefisien** suku banyak dengan **jumlah dan perkalian akar-akarnya**.

A. Suku Banyak Berderajat Tiga ($n=3$)

Misalkan $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$, dengan akar-akar $x_1, x_2, x_3$.

* **Jumlah satu per satu:** $$x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}$$ * **Jumlah perkalian dua-dua:** $$x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = \frac{c}{a}$$ * **Perkalian tiga-tiga:** $$x_1 x_2 x_3 = -\frac{d}{a}$$
B. Suku Banyak Berderajat Empat ($n=4$)

Misalkan $P(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$, dengan akar-akar $x_1, x_2, x_3, x_4$.

* **Jumlah satu per satu:** $$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -\frac{b}{a}$$ * **Jumlah perkalian dua-dua:** $$x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_1 x_4 + x_2 x_3 + x_2 x_4 + x_3 x_4 = \frac{c}{a}$$ * **Jumlah perkalian tiga-tiga:** $$x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + x_1 x_3 x_4 + x_2 x_3 x_4 = -\frac{d}{a}$$ * **Perkalian empat-empat:** $$x_1 x_2 x_3 x_4 = \frac{e}{a}$$

**Pola Umum Rumus Vieta:** Jika suku banyak berderajat $n$ adalah $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0$, maka jumlah hasil kali $k$ akar secara bersamaan adalah:

$$\sum_{1 \le i_1 < i_2 < \dots < i_k \le n} x_{i_1} x_{i_2} \dots x_{i_k} = (-1)^k \frac{a_{n-k}}{a_n}$$

4. Contoh Soal Aplikasi

**Contoh 1: Menentukan Akar-akar Rasional**

Tentukan akar-akar dari $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6 = 0$.

  1. Koefisien utama ($a_n$) adalah 1, dan suku tetap ($a_0$) adalah 6.
  2. Faktor dari $a_0$ (6) adalah $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.
  3. Uji $x = -1$ (metode Horner/substitusi): $$P(-1) = (-1)^3 - 4(-1)^2 + (-1) + 6 = -1 - 4 - 1 + 6 = 0$$ Karena $P(-1) = 0$, maka **$x_1 = -1$** adalah akar, dan $(x+1)$ adalah faktor.
  4. Lakukan pembagian dengan $(x+1)$ menggunakan Horner:
    | 1   -4   1    6
-1  |   -1   5   -6
    -----------------
      1   -5   6    | 0  (Sisa)

Hasil baginya adalah $H(x) = x^2 - 5x + 6$.

  1. Faktorkan hasil bagi: $$x^2 - 5x + 6 = 0 \implies (x - 2)(x - 3) = 0$$
  2. Diperoleh akar lainnya: **$x_2 = 2$** dan **$x_3 = 3$**.

Jadi, akar-akar suku banyak tersebut adalah $\{-1, 2, 3\}$.

**Contoh 2: Aplikasi Rumus Vieta**

Jika $x_1, x_2, x_3$ adalah akar-akar dari $2x^3 - 3x^2 + 4x - 1 = 0$, tentukan nilai dari $x_1 + x_2 + x_3$ dan $x_1 x_2 x_3$.

Dari suku banyak: $a=2, b=-3, c=4, d=-1$.

  1. Jumlah Akar (Vieta Suku Tiga): $$x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a} = -\frac{(-3)}{2} = \frac{3}{2}$$
  2. Perkalian Akar (Vieta Suku Tiga): $$x_1 x_2 x_3 = -\frac{d}{a} = -\frac{(-1)}{2} = \frac{1}{2}$$

homeKembali ke Beranda