Suku Banyak: Pengertian & Operasi

1. Pengertian Suku Banyak (Polinom)

Suku banyak atau polinom adalah suatu bentuk aljabar yang terdiri dari beberapa suku yang memiliki variabel dengan pangkat bilangan bulat non-negatif (asli atau nol). Pangkat tertinggi dari variabel dalam suatu suku banyak disebut **derajat suku banyak**.

Bentuk umum suku banyak dengan variabel \(x\) dan berderajat \(n\) adalah:

\( P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 \)

Dengan:

\( a_n, a_{n-1}, \dots, a_1, a_0 \) adalah **koefisien** (bilangan real).
\( a_n \neq 0 \) (ini adalah koefisien utama).
\( n \) adalah **derajat suku banyak** (bilangan bulat non-negatif).
\( x \) adalah **variabel**.
\( a_0 \) adalah **suku konstanta** (suku tanpa variabel \(x\)).

Contoh 1.1: Identifikasi Suku Banyak

Perhatikan suku banyak \( P(x) = 3x^4 - 5x^2 + 2x + 7 \):

Derajat: 4
Variabel: \( x \)
Koefisien \( x^4 \): 3
Koefisien \( x^3 \): 0 (karena tidak tertulis)
Koefisien \( x^2 \): -5
Koefisien \( x \): 2
Konstanta: 7

Bukan Suku Banyak: \( Q(x) = x^2 + \frac{1}{x} - 3 = x^2 + x^{-1} - 3 \) (karena ada pangkat negatif).

2. Nilai Suku Banyak

Nilai suku banyak \( P(x) \) untuk \( x = k \) adalah \( P(k) \), yaitu nilai yang diperoleh dengan mengganti variabel \( x \) dengan bilangan \( k \).

A. Metode Substitusi

Mengganti langsung nilai \( x \) ke dalam bentuk suku banyak.

Contoh 2.1: Menentukan Nilai Suku Banyak dengan Substitusi

Tentukan nilai dari \( P(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 \) untuk \( x = 2 \).

\( P(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 + (2) - 5 \)

\( P(2) = 2(8) - 3(4) + 2 - 5 \)

\( P(2) = 16 - 12 + 2 - 5 \)

\( P(2) = 4 + 2 - 5 \)

\( P(2) = 6 - 5 \)

\( P(2) = 1 \)

B. Metode Horner (Skema)

Metode ini lebih sistematis dan efisien, terutama untuk suku banyak berderajat tinggi. Langkah-langkahnya melibatkan perkalian dan penjumlahan secara berurutan.

Contoh 2.2: Menentukan Nilai Suku Banyak dengan Horner

Tentukan nilai dari \( P(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 \) untuk \( x = 2 \).

Koefisien suku banyak adalah 2, -3, 1, -5.

    2 | 2  -3   1  -5
      |    4   2   6
      ----------------
        2   1   3   1

Nilai terakhir pada baris bawah adalah nilai suku banyak, yaitu \( P(2) = 1 \).

3. Operasi Aljabar pada Suku Banyak

A. Penjumlahan dan Pengurangan Suku Banyak

Penjumlahan dan pengurangan suku banyak dilakukan dengan menjumlahkan atau mengurangi koefisien dari suku-suku yang **sejenis** (memiliki variabel dan pangkat yang sama).

Contoh 3.1: Penjumlahan Suku Banyak

Jika \( P(x) = 3x^2 + 2x - 1 \) dan \( Q(x) = x^2 - 4x + 5 \),

\( P(x) + Q(x) = (3x^2 + 2x - 1) + (x^2 - 4x + 5) \)

\( = (3x^2 + x^2) + (2x - 4x) + (-1 + 5) \)

\( = 4x^2 - 2x + 4 \)

Contoh 3.2: Pengurangan Suku Banyak

Jika \( P(x) = 3x^2 + 2x - 1 \) dan \( Q(x) = x^2 - 4x + 5 \),

\( P(x) - Q(x) = (3x^2 + 2x - 1) - (x^2 - 4x + 5) \)

\( = 3x^2 + 2x - 1 - x^2 + 4x - 5 \)

\( = (3x^2 - x^2) + (2x + 4x) + (-1 - 5) \)

\( = 2x^2 + 6x - 6 \)

B. Perkalian Suku Banyak

Perkalian suku banyak dilakukan dengan mengalikan setiap suku dari suku banyak pertama dengan setiap suku dari suku banyak kedua (prinsip distributif). Derajat hasil perkalian adalah jumlah derajat kedua suku banyak.

Contoh 3.3: Perkalian Suku Banyak

Jika \( P(x) = x + 2 \) dan \( Q(x) = x^2 + 3x - 1 \),

\( P(x) \cdot Q(x) = (x + 2)(x^2 + 3x - 1) \)

\( = x(x^2 + 3x - 1) + 2(x^2 + 3x - 1) \)

\( = (x^3 + 3x^2 - x) + (2x^2 + 6x - 2) \)

\( = x^3 + (3x^2 + 2x^2) + (-x + 6x) - 2 \)

\( = x^3 + 5x^2 + 5x - 2 \)

Derajat \( P(x) = 1 \), Derajat \( Q(x) = 2 \). Derajat \( P(x) \cdot Q(x) = 1 + 2 = 3 \).

C. Pembagian Suku Banyak

Pembagian suku banyak menghasilkan hasil bagi dan sisa. Jika sisa pembagian adalah nol, maka pembagi adalah faktor dari suku banyak. Bentuk umum pembagian adalah:

\( P(x) = Q(x) \cdot H(x) + S(x) \)

Dengan:

\( P(x) \): Suku banyak yang dibagi
\( Q(x) \): Pembagi
\( H(x) \): Hasil bagi
\( S(x) \): Sisa pembagian (derajat \( S(x) \) < derajat \( Q(x) \))

C.1. Metode Pembagian Bersusun Panjang

Mirip dengan pembagian bilangan biasa. Ini adalah metode yang paling umum dan dapat digunakan untuk pembagi sembarang.

Contoh 3.4: Pembagian Bersusun Panjang

Bagi \( (x^3 - 7x^2 + 4x + 1) \) oleh \( (x - 2) \).

        x²  - 5x  - 6
       _________________
x - 2 | x³ - 7x² + 4x + 1
        -(x³ - 2x²)      (x² * (x-2))
        ___________
             -5x² + 4x
            -(-5x² + 10x)  (-5x * (x-2))
            ____________
                  -6x + 1
                 -(-6x + 12)  (-6 * (x-2))
                 ___________
                       -11   (Sisa)

Hasil bagi: \( H(x) = x^2 - 5x - 6 \)

Sisa: \( S(x) = -11 \)

C.2. Metode Horner (Pembagian Sintetik)

Metode ini sangat efisien untuk pembagian suku banyak oleh pembagi berbentuk \( (x - k) \) atau \( (ax - b) \).

Untuk pembagi \( (x - k) \):

Contoh 3.5: Metode Horner dengan \( (x - k) \)

Bagi \( (x^3 - 2x^2 + 5x - 4) \) oleh \( (x - 1) \).

Ambil koefisien suku banyak: 1, -2, 5, -4. Pembagi \( x - 1 \), jadi \( k = 1 \).

    1 | 1  -2   5  -4
      |    1  -1   4
      ----------------
        1  -1   4   0  (Sisa)

Koefisien hasil bagi: 1, -1, 4. Jadi Hasil bagi \( H(x) = x^2 - x + 4 \).

Sisa pembagian: \( S(x) = 0 \).

Untuk pembagi \( (ax - b) \):

Jika pembagi berbentuk \( (ax - b) \), maka nilai \( k = \frac{b}{a} \). Hasil bagi yang diperoleh dari skema Horner harus dibagi lagi dengan \( a \).

Contoh 3.6: Metode Horner dengan \( (ax - b) \)

Bagi \( (2x^3 - 7x^2 + 11x - 4) \) oleh \( (2x - 1) \).

Ambil koefisien: 2, -7, 11, -4. Pembagi \( 2x - 1 \), jadi \( k = \frac{1}{2} \).

 1/2 | 2  -7   11  -4
     |    1  -3    4
     -----------------
       2  -6    8    0  (Sisa)

Koefisien hasil bagi dari skema: 2, -6, 8.

Karena pembagi adalah \( (2x - 1) \), bagi koefisien hasil bagi dengan \( a = 2 \):

\( \frac{2}{2} = 1, \frac{-6}{2} = -3, \frac{8}{2} = 4 \)

Jadi Hasil bagi \( H(x) = x^2 - 3x + 4 \).