Teorema Sisa dan Teorema Faktor

Cara cepat menentukan sisa pembagian dan mencari faktor-faktor suku banyak.

1. Konsep Dasar Pembagian

Sebelum masuk ke teorema, ingatlah bahwa setiap pembagian suku banyak dapat dirumuskan sebagai:

\( P(x) = Q(x) \cdot H(x) + S(x) \)

Di mana:


2. Teorema Sisa (Remainder Theorem)

Teorema Sisa memungkinkan kita menemukan **sisa** pembagian suku banyak tanpa perlu melakukan pembagian bersusun atau skema Horner secara lengkap. Ini berfokus pada evaluasi nilai suku banyak \( P(k) \).

A. Pembagi Berbentuk Linear \( (x - k) \)

Jika suku banyak \( P(x) \) dibagi oleh \( (x - k) \), maka **sisa** pembagiannya adalah \( S = P(k) \).

Contoh 2.1: Sisa oleh \( (x - k) \)

Tentukan sisa pembagian suku banyak \( P(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1 \) oleh \( (x - 2) \).

Pembagi \( x - 2 \), maka \( k = 2 \). Sisa \( S = P(2) \).

\( S = P(2) = (2)^3 - 3(2)^2 + 4(2) - 1 \)

\( S = 8 - 3(4) + 8 - 1 \)

\( S = 8 - 12 + 8 - 1 \)

\( S = 3 \)

Jadi, sisa pembagiannya adalah **3**.

B. Pembagi Berbentuk Linear \( (ax - b) \)

Jika suku banyak \( P(x) \) dibagi oleh \( (ax - b) \), maka **sisa** pembagiannya adalah \( S = P(\frac{b}{a}) \).

Contoh 2.2: Sisa oleh \( (ax - b) \)

Tentukan sisa pembagian suku banyak \( P(x) = 4x^3 + 2x^2 + 5x - 3 \) oleh \( (2x - 1) \).

Pembagi \( 2x - 1 \), maka \( x = \frac{1}{2} \). Sisa \( S = P(\frac{1}{2}) \).

\( S = P(\frac{1}{2}) = 4(\frac{1}{2})^3 + 2(\frac{1}{2})^2 + 5(\frac{1}{2}) - 3 \)

\( S = 4(\frac{1}{8}) + 2(\frac{1}{4}) + \frac{5}{2} - 3 \)

\( S = \frac{4}{8} + \frac{2}{4} + \frac{5}{2} - 3 \)

\( S = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{5}{2} - \frac{6}{2} \)

\( S = \frac{1 + 1 + 5 - 6}{2} = \frac{1}{2} \)

Jadi, sisa pembagiannya adalah **\( \frac{1}{2} \)**.

C. Sisa Pembagian oleh Pembagi Berderajat Dua (Kuadrat)

Jika suku banyak \( P(x) \) dibagi oleh pembagi kuadrat \( Q(x) = ax^2 + bx + c \) (yang dapat difaktorkan menjadi \( (x - k_1)(x - k_2) \)), maka **sisa** pembagiannya akan berbentuk linear, yaitu \( S(x) = px + q \).

Untuk mencari \( p \) dan \( q \), kita gunakan prinsip Teorema Sisa pada faktor-faktor pembagi:

\( P(k_1) = p \cdot k_1 + q \)

\( P(k_2) = p \cdot k_2 + q \)

Dengan menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) di atas, kita akan mendapatkan nilai \( p \) dan \( q \).

Contoh 2.3: Sisa oleh Pembagi Kuadrat

Suku banyak \( P(x) \) dibagi \( (x - 1) \) bersisa 3, dan dibagi \( (x + 2) \) bersisa -6. Tentukan sisa pembagian \( P(x) \) oleh \( x^2 + x - 2 \).

  1. Faktorkan pembagi kuadrat: \( x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2) \).
  2. Faktor-faktornya adalah \( k_1 = 1 \) dan \( k_2 = -2 \).
  3. Dari Teorema Sisa diketahui:
    • \( P(1) = 3 \) (Sisa oleh x - 1)
    • \( P(-2) = -6 \) (Sisa oleh x + 2)
  4. Asumsikan sisa \( S(x) = px + q \).
    • Untuk \( x = 1 \): \( P(1) = p(1) + q \implies \mathbf{3 = p + q} \) (Pers. 1)
    • Untuk \( x = -2 \): \( P(-2) = p(-2) + q \implies \mathbf{-6 = -2p + q} \) (Pers. 2)
  5. Eliminasi/Substitusi Pers. 1 dan 2: 
      p + q = 3
-2p + q = -6
------------- (-)
3p      = 9
  p     = 3
  6. Substitusi \( p = 3 \) ke Pers. 1: \( 3 + q = 3 \implies q = 0 \).

Jadi, sisa pembagiannya adalah \( S(x) = px + q = 3x + 0 \), atau **\( 3x \)**.


3. Teorema Faktor (Factor Theorem)

Teorema Faktor adalah kasus khusus dari Teorema Sisa. Teorema ini digunakan untuk menentukan **faktor** dari suku banyak. Teorema ini menyatakan:

Suatu pembagi linear \( (x - k) \) adalah **faktor** dari suku banyak \( P(x) \) jika dan hanya jika **sisa pembagiannya sama dengan nol**, yaitu \( S = P(k) = 0 \).

Jika \( P(k) = 0 \), maka \( x = k \) adalah **akar** dari suku banyak \( P(x) \).

A. Mencari Faktor dan Akar Rasional

Untuk mencari akar rasional (pecahan atau bulat) dari suku banyak berderajat tinggi, kita dapat mencoba-coba nilai \( k \) yang memenuhi \( P(k) = 0 \). Nilai \( k \) yang mungkin adalah pembagi-pembagi dari suku konstanta \( a_0 \) dibagi dengan pembagi-pembagi dari koefisien utama \( a_n \).

Akar Rasional yang Mungkin \( (k) = \frac{\text{Faktor dari } a_0}{\text{Faktor dari } a_n} \)

Contoh 3.1: Mencari Faktor Suku Banyak

Tentukan faktor-faktor dari \( P(x) = x^3 - 7x + 6 \).

  1. Koefisien utama \( a_n = 1 \), Konstanta \( a_0 = 6 \).
  2. Faktor dari \( a_0=6 \) adalah: \( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 \).
  3. Kita coba nilai-nilai tersebut dengan Teorema Sisa:
    • Coba \( x = 1 \): \( P(1) = (1)^3 - 7(1) + 6 = 1 - 7 + 6 = 0 \).

      Karena \( P(1) = 0 \), maka **\( (x - 1) \) adalah faktor**.

    • Coba \( x = 2 \): \( P(2) = (2)^3 - 7(2) + 6 = 8 - 14 + 6 = 0 \).

      Karena \( P(2) = 0 \), maka **\( (x - 2) \) adalah faktor**.

  4. Setelah menemukan dua faktor, kita gunakan Horner atau pembagian bersusun untuk mencari faktor sisa: 
        1 | 1   0  -7   6  (Koefisien x³, x², x, konstanta)
      |     1   1  -6
      ----------------
    2 | 1   1  -6   0
      |     2   6
      ----------------
        1   3   0
  5. Hasil bagi terakhir adalah \( x + 3 \). Maka, faktor terakhir adalah \( (x + 3) \).

Jadi, faktor-faktor dari \( P(x) = x^3 - 7x + 6 \) adalah **\( (x - 1), (x - 2), \) dan \( (x + 3) \)**. Akar-akarnya adalah \( x=1, x=2, \) dan \( x=-3 \).

chevron_leftKembali ke Suku Banyak